Microsoft word - andreas fjällman_lite sång lite dans lite matte.doc

Lite sång, lite dans, lite matte En studie på hur musik och rörelse används som verktyg för matematikinlärning på två förskolor. Institutionen för matematikämnets och naturvetenskapsämnenas didaktik Självstädigt arbete inom AUO 3, 15 hp Matematikämnets och Naturvetenskapsämnenas didaktik Lärarprogrammet 210hp Ht terminen 2009 Examinator: Anneli Liukko English title: A little bit of singing, dancing and math En studie på hur musik och rörelse används som verktyg för matematikinlärning på två förskolor. Andreas Fjällman
Syftet med denna uppsats var att ta reda på hur musik och rörelse användes som verktyg för matematikinlärningen på förskolan. Vilken matematik kan man hitta i några sånger på förskolan, hur kan matematiken förstärkas i rörelse samt vad gör barnen under de tillfällen då de har musik? Två förskolor observerades och filmades under de tillfällen då de använde sig av musik och rörelse med barnen, materialet analyserades och matematiken belystes. I de sånger som sjöngs på förskolorna hittades matematiken inom områdena taluppfattning och rumsuppfattning. Musik var ett dagligt använt verktyg med arbetet hos de yngre barnen men det avtog ju äldre barnen blev, bland de äldsta barnen förekom det sällan ibland bara en gång i veckan under en halv timmes sångsamling. Då barnen hade musik fick de under för dem meningsfulla situationer använda och visa att de kunde matematiken samtidigt som de visade på Nyckelord
Inledning . 2
Teoretisk bakgrund. 4
Begrepp och bakgrund. 6
Grundläggande rums- och kroppsuppfattning,. 7 Förskolans tidigare arbete med matematik. 7 Resultat . 8
Vilken matematik kan man hitta i några sånger på förskolan? . 9 Hur gestaltas matematiken i rörelse?. 9 Vad/hur gör barnen i dessa situationer? . 9 Vilken matematik kan man hitta i några sånger på förskolan? . 10 Hur gestaltas matematiken i rörelse?. 10 Vad/hur gör barnen i dessa situationer? . 10 En hatt, ett paraply och en regnrock . 11 Vilken matematik kan man hitta i några sånger på förskolan? . 11 Hur gestaltas matematiken i rörelse?. 11 Vad/hur gör barnen i dessa situationer? . 11 Vilken matematik kan man hitta i några sånger på förskolan? . 11 Hur gestaltas matematiken i rörelse?. 12 Vad/hur gör barnen i dessa situationer? . 12 Analys. 12
En hatt, ett paraply och en regnrock . 13 Diskussion . 13
En hatt, ett paraply och en regnrock . 14 Generaliserbarhet, reliabilitet och validitet . 15 Referenslista . 17
Bilaga 1 . 19
Bilaga 2 . 20
Matematik för unga är mer än bara ett plus ett, ekvationer, algoritmer och andra nakna uppgifter som annars förknippas med matematiken. Matematiken från början handlar mer om att skapa sig en grundläggande förståelse för ord, begrepp och situationer. Att till exempel sortera knappar efter färg kan vissa se som enkelt och kanske till och med meningslöst, men detta lägger grunden för och tränar förmågan att kunna sortera och klassificera. Sortering och klassificering lägger en grund för det logiska tänkandet och matematiken, förmågan att kunna välja en lösningsmetod som är användbar på den specifika uppgiften eller att ha olika lösningsstrategier för olika problemuppgifter, urskilja likheter, skillnader och mycket, mycket mer (Forsbäck, M. 2007). Innan man lär sig gå behöver man kunna krypa och innan man löser en textbaserad problemlösningsuppgift behöver man kunna och ha strategier för att sortera bort överflödig information så att det som är kvar är det väsentliga för att kunna lösa uppgiften. ”Barns lärande av matematik i förskolan sker genom att barnen utforskar miljön och med hjälp av alla sina sinnen undersöker olika aspekter i sin omvärld” (Sheridan, S. 2009, sid.9). Förskolan har en viktig uppgift i att stimulera barnens intresse för och förståelse av matematik, när barnen undersöker sin omvärld och när de själva eller i samspel med andra utforskar olika matematiska begrepp i sin vardag. Barns vardag är fylld med matematik som barnen måste tolka och förstå och här spelar personalen på förskolan en stor roll. ”Det är en viktig uppgift för de vuxna att synliggöra matematiken i barns vardag som ett redskap för att strukturera aktiviteter och lösa problem.” (Skolverket, 2009, sid.16). ”Förskolan skall sträva efter att varje barn utvecklar sin förmåga att upptäcka och använda matematik i meningsfulla sammanhang” (Lpfö 98 s. 13). Vad kan vara mer meningsfullt för ett barn än leken? Leken är barnens sätt att se på verkligheten och det är genom leken som de lär sig hur saker och ting går till. Förskolan skall även sträva efter att barnen ”utvecklar sin motorik, koordinationsförmåga och kroppsuppfattning…” (Lpfö 98, sid. 13). Sonja Sheridan (2009) skriver om hur förskolor med hög kvalitet har lärare som arbetar mot de satta målen med en medveten fysisk, emotionell och intellektuell närhet till barnen. Sheridan skriver om hur viktigt det är för barnen att ha engagerade vuxna runt sig som kan skapa mening och förståelse i barnens värld. De vuxna måste även se till att skapa situationer där barnen får möjlighet att testa, upptäcka och utforska då ”det är först i kommunikation och samspel med vuxna och/eller andra barn som barnet lär sig urskilja och förstå matematiska begrepp och relationer i sin vardag” (Sheridan, S. 2009, sid.10). En av alla de saker som står i förskolans läroplan är att verksamheten ska främja leken och det lustfyllda lärandet. Ordet lek är mer eller mindre synonymt med musik, ta bara engelskans ”play”, franskans ”jouer” och ryskans ”igra” som både betyder leka samt att spela musik (Jederlund, U. 2002). Det svenska ordet lek kommer från fornsvenskan och en av dess betydelser är just att spela på instrument eller uttrycka sig med melodi, en lekare är en person som håller på med musik, skådespel eller konst. Musik och lek är nära besläktat mer än bara orden. Med hjälp av takt, ton, rim och ramsor kan man leka med språket genom musik. Musik och rörelse är en naturlig och viktig del av barnens utveckling. Något så enkelt som en klassisk sjung- och gunglek i knäet stimulerar språket samtidigt som det stimulerar labyrintsinnet. Labyrinten sitter i innerörat och har till uppgift att tala om för hjärnan om huvudets ställning i förhållande till tyngdkraften, vilket har en betydelse för den totala balansen (Uddén, B., 2004). Även de matematiska mönstren som rytm och melodi bidrar till den fascination som dessa sånger sprider (Shilling, W. A., 2002). 1981 fick Roger Wolcott Sperry Nobelpriset i medicin efter att han kartlagt de båda hjärnhalvorna, där den vänstra halvan står för det logiska och abstrakta tänkandet, tal, språk samt förmågan att analysera, med andra ord de teoretiska delarna. I höger hjärnhalva finns rytm, rörelse, musik, bild, konkret tänkande och koncentrationsförmåga (Horowitz N. H., 1997). Då vår hjärna har som störst kapacitet när båda halvorna arbetar tillsammans måste båda halvorna tränas. Detta talar för mer rörelse, rytm och musik. ”Sång och rytmisk rörelse tycks ha en viktig funktion för att utveckla hjärnhalvornas samarbete: vid vissång växlar ständigt överkopplingen mellan höger och vänster hemisfärer, eftersom de melodiska och rytmiska helheterna tas emot av höger hemisfär medan de snabba språkljuden tas in i vänster. För att bilda mening måste de båda hemisfärerna samarbeta.” (Uddén, B., 2004, sid. 58). Detta talar för mer rörelse, rytm och Ju närmare vi betraktar det invecklade samspelet mellan hjärna och kropp ju klarare framstår ett övertygande tema: rörelse är oumbärligt för inlärning. Rörelse väcker och aktiverar många av våra mentala kapaciteter. Rörelse integrerar och förankrar ny information och erfarenhet i våra neurala nätverk. Och varje rörelse är livsviktig för alla de handlingar med vilka vi förkroppsligar och uttrycker vår inlärning och oss själva. Carla Hannaford är en neurofysiolog som skriver om hur viktigt det är att vi rör på oss och hur hela kroppen med alla dess sinnen är sammankopplade och påverkar vår inlärning av allt från vad vi ser, hör och känner till vad vi gör med kroppen. Hannaford skriver om rörelsens påverkan på våra handlingar i det neurala nätverket där upprepad rörelse gör att myelinhöljet som täcker axonen växer och myelinproduktionen ökar. Myelinet gör att hastigheten hos nervimpulserna ökar och vi kan reagera och agera snabbare. Bunkefloprojektet (Ericsson, I. 2005) är ett projekt som startade 1999 där man införde dagliga ledarledda rörelsepass i ett antal skolor i Malmöförorten Bunkeflostrand. Förutom ökad kondition och bättre motorik fick eleverna bättre koncentrationsförmåga vilket gjorde att deras prestationer och kunskaper ökade i både matematik och svenska. De som höjde sig mest var de elever som var lågpresterande med dålig motorik. Dessutom ökade elevernas benmassa, vilket i sin tur minskar risken för osteoporos eller benskörhet, som är ett ökande samhällsproblem som varannan kvinna och var fjärde man i 50-år åldern har problem med (Gärdsell, P., Karlsson, M. I all den litteratur som jag läst och gått igenom finns det ingen som tar upp sambandet mellan matematik, musik och rörelse. Musik i sig förekommer sällan i matematikdidaktisk litteratur. Matematiken där tas mest upp i leken, hur man kan träna den utomhus och i andra vardagssituationer, i sagoböcker och som språk men inget om musik. Musik däremot tas upp som ett sätt att stärka språket men inte som ett sätt att stärka matematiken, ändå står det massor När barnen är unga är varje samling fylld av musik och sång men allt eftersom de växer upp tas det bort och ersätts med prat. Varför då? Sångerna stärker ju också språket samtidigt som det stärker en massa annat på köpet. Är det så att pedagogerna inte känner till musikens och rörelsens inverkan på barnens utveckling eller väljer de bara att låta bli att ta in musiken för att Syftet med uppsatsen är att reda på hur mycket pedagogerna i förskolan använder sig av musik och rörelse som verktyg för lärande och utveckling, vilka för- och nackdelar finns det med att använda sig av musik och rörelse samt hur man kan kombinera matematik, musik och rörelse i förskolan. Från syftet har tre frågeställningar skapats: 1. Vilken matematik kan man hitta i några sånger på förskolan? 2. Hur kan denna matematik gestaltas i rörelse? 3. Vad/hur gör barnen i dessa situationer? Det sociokulturella perspektivet
Roger Säljö (2005) skriver om Vygotskijs teorier där vi genom sociala samspel lär oss nya saker och fördjupar oss inom de områden vi redan har kunskap om. Kunskaper vi fått genom interaktion med andra överför vi sedan själva då vi utför aktiviteter och kommunicerar med nya grupper. Språket spelar en stor roll för att denna överföring av kunskap ska kunna ske, för det är genom språket som barnet kan komma i kontakt med sin omgivning och kunna delta i de sociala samspel som finns samt kunna ta del av alla de sociokulturella erfarenheter som erbjuds. Säljö (2005) skriver även om Vygotskijs syn på skolan och förskolan, Vygotskij såg det inte endast som en plats för lärande utan som ”… en central institution som etablerats för att ge människor tillfälle att lära på ett annat sätt än det som sker i vardagen”(Säljö, R., 2005, sid. 124). I denna miljö ses läraren och andra vuxna runt barnet som viktiga personer vars handlingar har stor betydelse för barnets utveckling. Genom en medveten undervisning kan nya kunskaper läras och även höja nivån på de kunskaper som barnen redan har (Vygotskij, L. S., 2007). Tillsammans kan barn mer än enskilt och det som barnen idag kan göra tillsammans kan de imorgon göra enskilt (a.a.). För att barnen ska kunna lära sig något måste denna kunskap ligga inom vad Vygotskij kallar den närmaste utvecklingszonen, att försöka lära barnen något som ligger utanför barnets utvecklingszon har lika lite framgång som att lära barnet något som de redan kan (a.a.). Det gäller alltså att hitta den nivå som barnen ligger på för att få bästa resultat, även här spelar läraren en viktig roll. Genom samarbete och med hjälp av imitation så kan barnen lära sig nya saker, höja sig till en högre intellektuell nivå samt förflytta sig från en zon För att få reda på hur musik och rörelse används som verktyg för matematikinlärningen på förskolan, samt personalens kunskaper om dess positiva effekter, har jag valt att observera tillfällen där musik och rörelse används. Studien gjordes på två förskolor, båda förskolorna satsar mycket på matematiken. Däremot har ingen av dem något utarbetat musik- eller rörelseprogram, utan det finns bara med som en del av vardagen. Förskolorna valdes just för deras stora satsning inom matematiken och var mycket positiva till att jag skulle komma och göra min studie där. Under två veckor följde jag de båda förskolorna under de tillfällen som de hade planerat in musik på ett eller på annat sätt, samlingar, sångsamlingar, rörelsepass och teampass med musik, dans och rörelse. Jag observerade i alla åldersgrupper från de yngsta, 1-2 åringar till de äldsta 5 åringarna. Observationer
Att observera samtidigt som man undervisar eller håller i någon form av aktivitet skulle kunna liknas med en bilfärd där samtidigt som man kör bilen och hela tiden håller koll på all trafik, försöka se och njuta av allt som händer runt omkring och på sidan av vägen. Är man istället två personer i bilen så kan föraren enbart koncentrera sig på att hålla koll på trafiken medan passageraren kan luta sig tillbaka och njuta av färden, utan att behöva fokusera sig på trafiken. Efter bilfärdens slut vet föraren hur vägen varit och hur resan gått medan passageraren både kan redovisa hur resan gått samt hur omgivningen sett ut. För att bäst få reda på vad som händer och vad som sker i lärprocessen mellan barnen görs alla observationer som observationer av första ordningen (Bjørndal, 2002), där jag som observatör har som primär uppgift att observera. Detta för att få en högre kvalitet på de fakta som samlas in, då jag slipper ta de konflikter och dylikt som uppstår utan enbart kan ägna mig åt att observera och anteckna. Löpande observation (Johansson & Svedner, 2006) genomförs där så mycket som möjligt av det som händer antecknas. Då jag är ensam om att observera är det lätt att missa något som händer, samtidigt som det finns en risk att jag glömmer bort vad jag sett om det inte omedelbart skrivs ner. För att komma till rätta med det har jag valt att även videofilma de tillfällen då barnen har musik och rörelse tillsammans med personalen på förskolan. Videofilmandet skedde med hjälp av en liten kamera som sattes så att den fångade hela gruppen samtidigt. Fördelen med att filma är att man förevigar situationen så att man kan se den om och om igen. Saker som man missade första gången har man då större chans att se den andra eller tredje gången. Nackdelen med att filma är att barnen kan bli distraherade av kameran och söka sig till den för att skoja och leka, personalen kan känna sig osäker och göra saker som de vanligtvis inte brukar göra. Då kameran var så liten och stod placerad så att den skulle fånga hela gruppen och inte enstaka individer upplevde jag att den hade liten påverkan på verksamheten. Barnen lade knappt märke till den och om de gjorde det var det ytterst lite. Personalen var de enda som var medvetna om kameran, men efter bara någon minut hade de Forskningsetik
Samtliga berörda personer har förfrågats om de velat delta i studien, då studien gjorts på två förskolor där barnen inte är myndiga har deras föräldrar frågats. Enbart de som godkänt att vara med på studien har observerats och filmats. Deltagarna har under hela studies gång varit informerade om och haft möjlighet att avbryta sitt deltagande utan några negativa följder. Deltagarna har varit medvetna om syftet med studien och kunnat ställa frågor om den om de så velat. För att bevara deltagarnas anonymitet så kommer varken namn eller plats på förskolorna, personalen eller barnen att nämnas (Johansson & Svedner, 2006). Analysschemat
Skolverket fick genom regeringsbeslut 1999-09-23 i uppdrag att utveckla ett material om matematisk begreppsbildning anpassat för åren före skolår sex och det var detta uppdrag som ledde till utvecklandet av analysschemat. Analysschemat är gjort för att underlätta den pedagogiska dokumentationen och är bland annat baserat på Socialstyrelsens allmänna råd rörande innehåll och arbetssätt för de äldre förskolebarnen. Materialet är utvecklat av PRIM- gruppen på uppdrag av Skolverket under ledning av Astrid Pettersson och Lisa Björklund Läroplanen för förskolan, Lpfö 98, läroplanen för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet, Lpo 94 och kursplan i matematik var viktiga utgångspunkter för arbetet med analysschemat, detta tillsammans med aktuell forskning inom området och erfarenheter från skolvärlden rörande både verksamheten och undervisningen. Förutom ett analysschema innehåller materialet en beskrivning om hur man arbetar med analys, hur man kan hitta och se det barn visar att de kan och förstår och förslag på uppgifter som kan hjälpa läraren att ta barnen vidare i sin utveckling inom specifika områden. Där finns även kommentarer och exempel på vad som ska observeras och vad barnen ska kunna. (Skolverket, 2000) Barns tidiga matematik
Som tidigare nämnts är matematik mer än bara mekaniskt räknande. För de yngre handlar det mer om att förstå sig på sin omvärld och skaffa sig egenskaper och verktyg för att kunna tolka Kardinaltal eller antalsprincipen innebär att det sista uppräknade talet i en serie är antalet,
det vill säga varje sak i mängden får ett nummer och den sista i den serien är antalet (Sterner, G.
Subitizing eller förmågan att uppfatta antal ”i en blink”, är när man utan att behöva räkna
varje enskild sak för sig kan se att ett färre antal saker är till exempel tre eller fyra. Detta är en
blandning av en medfödd förmåga och erfarenheter av räkning (a. a). Grundläggande rums- och kroppsuppfattning, där en del av
rumsuppfattningen innebär att barnet vet var i rummet en sak eller det själv befinner sig som till
exempel bakom, under, bredvid, över, höger eller vänster. Uppfattning om den egna kroppen är också en viktig del, får jag plats här? Når jag? Barnet behöver ta reda på sina kroppsliga gränser för att kunna bedöma plats och avstånd av saker, en sak som till exempel är över ett barn kan vara framför ett annat (Persson, A. 2007). Räknesekvensens stabila ordning innebär att orden i räknesekvensen ska komma i
en bestämd ordning, vi räknar ett, två, tre, fyra och fem, inte ett, tre, fem, fyra och två. Varje ord
paras ihop med ett tal (Sterner, G. & Johansson, B. 2007). Ett till ett principen innebär att man kan para ihop varje tal med en sak. När man till
exempel ska bestämma antalet i en mängd ges varje sak ett tal ända tills man kommer till det
sista, som i sin tur bestämmer antalet i mängden. Varje sak kan även paras ihop med en annan sak som till exempel att en fårherde lägger en sten i en skål för varje får som han släpper ut på bete och i slutet av dagen när han tar in dem igen tas en sten bort för varje får som kommer tillbaka. På så sätt kan man hålla reda på antalet utan att behöva kunna räkna (a. a). Förskolans tidigare arbete med matematik
Efter samtal med personalen så har jag fått reda på att de förskolor som jag gjorde min studie på har under en femårs period varit med i ett projekt, som hade som syfte att höja nivån på allas kunskaper i matematik, genom ett långsiktigt kompetensutvecklingsprogram för alla pedagoger med matematik i sitt uppdrag arbetande med barn/elever från ett- till 16-åringar. Projektet innefattade kommunala förskolor och skolor upp till årskurs nio i en kommundel. Nästintill all personal på förskolorna har gått två kurser i matematik som projektet erbjöd, en grundkurs och en fortsättningskurs. I grundkursen ingick boken ”Matematik från början” en samlingsvolym från nämnaren utgiven av NCM (Nationellt Centrum för Matematikutbildning) på Göteborgs universitet och i fortsättningskursen var det ”Små barns matematik”, även den en samlingsvolym utgiven av NCM under redaktion av Elisabet Doverborg och Göran Emanuelsson som behandlades. Det anordnades studiecirklar och så kallade hemmamatteträffar. I studiecirklarna träffades personal från olika förskolor och skolor och pratade om böckerna, vilken form av matematik de kunde hitta och vad de gjorde för att stärka barnens matematikkunskaper samt hur de gjorde det och under hemmamatteträffarna var det personalen på den enskilda förskolan/skolan som träffades. De skulle till varje träff ta med sig saker, material eller dokumentationer som visade och beskrev vad de höll på med eller hade gjort så att andra kunde ta del utav det och på så sätt sprida kunskaperna vidare. På varje förskola och skola utsågs en eller flera matematikutvecklare som hade till uppgift att inspirera, entusiasmera och se till att personalen arbetade vidare med att utveckla sin kunskap och sitt arbete inom matematiken. Alla matematikutvecklare har deltagit i kompetensutveckling kring likvärdig bedömning. Utbildningen heter ”Bedömningsunderlag i matematik – BeMa” och den leds av Lisa Dimming och Elisabeth Jansson från Vänersborg. Det har varit matematikutvecklarens uppgift att även leda hemmamatteträffarna där det har förekommit Works-shops som t.ex. utematte, djupdykning i PRIM-gruppens analysschema, skapande av arbetsplaner i matematik och alltid deltagarnas egna frågor. Alla matematikutvecklare har bildat ett nätverk där de träffats och skapat en röd tråd mellan de olika stadierna. Projektet har även tagit in inspirerande och duktiga föreläsare som till exempel, Margareta Forsbäck: ”Matematik från början”, ”, Helena Lilja: ”Ett matematiskt begrepps väg från förskolan till gymnasiet”, Lisa Björklund Boijstrup: ”PRIM och analysschema” samt Per Berggren och Maria Lindroth: En viktig del under projektet var att alla skulle kunna sitt uppdrag, det vill säga läroplanen, och den lästes flitigt på så att den kunde tolkas och diskuteras. Planerad musik förekom i varierande grad på förskolorna. De yngsta barnen hade det varje dag på samlingen medan det var mer sällan för de äldre barnen, en sångsamling i veckan där hela förskolan samlades i en halv timme för att sjunga tillsammans och under rörelsepasset som varje På samma sätt som sagor är fyllda med matematik så är även sångerna på förskolan det. Förskolans sånger är en guldgruva för den som vill arbeta med matematik på ett roligt och lustfyllt sätt på förskolan. I texten till sångerna på förskolan kan man hitta allt från talluppfattning till rumsuppfattning. Sångerna kan även analyseras där mönster kan skapas med sångens verser och refränger. Av alla de sånger som de sjöng har jag gjort ett urval av de sånger som tydligast svarade på mina frågeställningar. Sångerna innehöll tydlig matematik i texten som även förstärktes med hjälp av rörelser som barnen gjorde. Jag kommer här att ge några exempel på sånger som innehåller matematik. Det är även de sångerna som jag valt att fokusera på och de är tagna från både samlingar hos de yngsta, 1-2 åringar, förskolans stora sångsamling och en grupp fyraåringars rörelsepass. ”En cirkushäst” är tagen från ett rörelsepass, ”Fem fina fåglar” från en samling hos de yngsta barnen, ”En hatt, ett paraply och en regnrock” och ”Tre pepparkaksgubbar” är från den stora sångsamlingen. Allt material har sedan analyserats med hjälp av Analysschema i matematik för åren före skolår 6. En cirkushäst
Vilken matematik kan man hitta i några sånger på förskolan?
Sången ”En cirkushäst” handlar om några cirkushästar som springer runt i en cirkel i manegen på en cirkus där de gör olika konster, springer i trav, galopp, två och två, tre och tre, stegrar och sparkar bakut. I sången finns matematik som enklare geometri, antal, parbildning och Geometrin kommer in då hästarna springer runt i en cirkel på scenen. De springer antingen runt själva eller i andra antal, i par om två och två eller tre och tre. Antal kommer även in i repetitionen då det ska göras ”en gång till”. Rumsuppfattning då hästarna stegrar och sparkar Hur gestaltas matematiken i rörelse?
När cirkushästarna springer runt på scenen ska även barnen springa runt i rummet i en cirkel en och en efter varandra i först trav och sedan i galopp. De bildar därefter par om två och fortsätter springa runt, paren bryts upp för att bilda nya där man springer tre och tre. De stegrar sig genom att lyfta armarna över huvudet och att sparka bakut gestaltas med att sparka med benen bakåt som om man försökte sparka sig i rumpan. Vad/hur gör barnen i dessa situationer?
Under glada rop springer barnen runt i en stor cirkel som cirkushästar i både trav och galopp. Det märks att de har gjort detta förr för det behövs inga instruktioner av pedagogen utan barnen börjar självmant springa runt i rummet och innan de sätter igång så hörs det glada tillrop som ”Ja, cirkushästarna” och ”Nu är det dags för cirkushästarna”. Barnen faller in i takten och tempot i musiken och kommer lätt in i en rytm där de springer en och en efter varandra i en cirkel, de är uppmärksamma på hur låten går, vad de uppmanas att göra och hur rytmen är. När det är dags för cirkushästarna att springa i galopp ändras rytmen i sången. Den ökar en aning i hastighet och blir mer ryckig. Samtidigt som sången ändrar sin karaktär ändrar barnen sitt rörelsemönster. De övergår då till ett mer hoppande och skuttande i ett försök till att efterlikna galopp än deras tidigare travspringande. De håller avstånd från varandra och när det är dags att blida par tittar de sig omkring och söker efter en ensam ”häst”. De bildar par med den första bästa som de ser, ett av barnen repeterar att de ska gå två och två i par och vinkar till sig den som springer bakom. Då de är udda till antalet är det en som blir ensam. Denna tar pedagogen snabbt i handen och springer med. När det är dags för att bilda nya grupper om tre så stannar alla utom en grupp upp och ser frågande ut. De säger inget utan tittar bara på varandra och söker med blicken efter pedagogen. De som inte stannar tar bara ett av barnen från ett annat par och säger att ”den är med mig”. De andra, som inte visste vad de skulle göra, stannande upp och stod frågande stilla på golvet tills pedagogen kom och delade upp dem så att ingen blev lämnad ensam kvar på golvet förutom en. Den som blivit av med sin kompis stod nu själv kvar på golvet fast kort därefter kom pedagogen springande, tog barnet i handen och såg till så att alla var med igen. När det är dags för hästarna att stegra lyfter alla barnen armarna över huvudet samtidigt som de springer runt i cirkel. Att sparka bakut görs med varierande resultat, en del får bak benen medan Fem fina fåglar
Vilken matematik kan man hitta i några sånger på förskolan?
De fem fina fåglarna som en efter en flyger iväg och till slut lämnar grenen kvar alldeles ensam är fylld av matematik för de yngsta barnen. Där finns antal, räknesekvenser med ett till ett principen och räkneordens stabila ordning, subitizing, det vill säga förmågan att kunna se ett mindre antal saker med bara ett ögonkast, kardinaltalsprincipen där det sista uppräknade talet är antalet i mängden samt subtraktion. Fåglarna är från början fem på grenen men i och med att de flyger iväg en efter en blir de färre och färre på grenen. Varje fågel som lämnar grenen uppmärksammas och räknas bort. I slutet på varje vers räknas de kvarvarande fåglarna. Hur gestaltas matematiken i rörelse?
Handens fem fingrar får representera de fem fina fåglarna som sitter på grenen. En efter en som de flyger iväg tas ett av fingrarna ner. Mellan verserna räknas de kvarvarande fingrarna tills det till slut inte är några kvar. Där tränas ett till ett principen och räkneordens stabila ordning med att varje finger räknas ett i taget och i en bestämd ordning där man alltid börjar från ett och sedan framåt tills man kommer till det sista. Det sista fingrets betonas extra då det är antalet fåglar som är kvar. Här tränas barnen i att förstå kardinaltal, att det sista uppräknade talet är antalet fåglar som är kvar. Har man räknat till fyra så är det fyra fåglar som är kvar och inte tre. Vad/hur gör barnen i dessa situationer?
Under full koncentration följer barnen pedagogen i dennes sång och rörelser. Barnen kan delas in i tre grupper baserat på hur väl de gör rörelserna till sången. Den första gruppen är de som gör rörelserna tillsammans med pedagogen, den andra gruppen är de som sitter och pillar med fingrarna i försök till att göra som pedagogen och den tredje och sista gruppen är de som bara sitter, tittar, lyssnar och följer med på vad som händer. Ett barn försöker med all sin koncentration att få ner fingrarna men det är svårt. Då det inte lyckas blir den osäker, slutar att försöka och tittar ner i golvet, men när det bara är grenen kvar och alla handens fingrar är nere så är barnet med och gör rörelserna igen. Ett annat barn tittar på pedagogen och när den har tagit ner ett av sina fingrar härmar den pedagogen och gör likadant. Ett tredje barn har svårt att få ner fingrarna men tar då hjälp av den andra handen för att på så sätt dölja fingrarna så att fåglarna kan lämna grenen. Ett fjärde barn sitter och pillar med sina fingrar under tiden som de sitter och sjunger. Den försöker få ner fingrarna och när grenen är tom på fåglar så håller det upp den En hatt, ett paraply och en regnrock
Vilken matematik kan man hitta i några sånger på förskolan?
I ”En hatt, ett paraply och en regnrock” kan man hitta antalsuppfattning, rumsuppfattning och uppräkning av räknesekvensen. Hatten, paraplyet och regnrocken är endast en/ett till antalet. I sången finns en räknesekvens som tränar räkneordens stabila ordning där man räknar från ett till sexton. Framåt, bakåt, sidan, ihop utgör den rumsuppfattning som finns med i sången. Hur gestaltas matematiken i rörelse?
En hatt har man på huvudet, ett paraply i handen och en regnrock på kroppen. Handen läggs på huvudet för att symbolisera en hatt, paraplyet symboliseras med att man håller det i handen och genom att dra händerna från topp till tå så visas att regnrocken täcker hela kroppen. Rumsuppfattningen tränas genom att framåt är ett hopp fram, bakåt ett hopp bak, sidan så hoppar man ut med benen och ihop så hoppar man tillbaka ihop med benen. Under räknesekvensen så är det en instrumental del där barnen går i takt till musiken och räknar varje takt som då spelas i sången ända från ett till sexton. Varje ny takt markeras med ett tal med början från ett och hela vägen fram till sexton. På så sätt tränas räkneordens stabila ordning och varje tal ses som en del i räknesekvensen. Vad/hur gör barnen i dessa situationer?
I mitten av ringen går de äldsta barnen på förskolan och visar de andra barnen hur rörelserna ska göras. De sätter hatten på huvudet, håller paraplyet i handen och sätter på sig regnrocken över hela kroppen och mellan verserna går de taktfast med höga knän runt i ringen. De barn som inte kan rörelserna utantill har här chansen att härma efter de äldre. De yngsta barnen är här väldigt fokuserade på vad de äldre gör. De försöker härma och när det kommer till partiet där de ska hoppa så hoppar de för glatta livet upp och ner. En hatt på huvudet, ett paraply i handen och en regnrock över kroppen är inga problem för barnen att göra, däremot så görs hoppandet av varierande kvalitet. En del hoppar mest bara, medan andra försöker att hoppa i den riktning som man ska fram, bak, åt sidan och ihop. Framåt går bra, bakåt är det färre som klara men sidan och ihop har de koll på. Ju äldre barnen är desto större del av gruppen klarade av att göra alla fyra hoppen från de yngsta där det är mest bara ett hoppande till de äldsta där nästan alla gör hoppen perfekt. Först tveksamt men med ökat självförtroende och styrka räknar barnen takterna under den instrumentala delen av sången samtidigt som de går runt i ringen taktfast och med höga knän. Tre pepparkaksgubbar
Vilken matematik kan man hitta i några sånger på förskolan?
Vi komma, vi komma från peppakakeland, att pepparkaksgubbarna är tre till antalet är svårt att undgå, de är alla bruna och har sina hattar på sned. Här finns antalsuppfattning, att snabbt kunna se ett mindre antal saker, så kallade subitizing, och rumsuppfattning. Hur gestaltas matematiken i rörelse?
Tre barn väljs ut ur gruppen, de ges varsin brun väst och går hand i hand runt inne i ringen. Att pepparkaksgubbarna har sina hattar på sned kan man gestalta genom att luta huvudet på sned. Barnen som sitter kvar i ringen ser dessa tre pepparkaksgubbar samtidigt som de sjunger om dem och att de är tre till antalet. De lär sig att denna mängd barn är tre till antalet och tränar då sin förmåga att snabbt kunna uppfatta ett mindre antal saker med endast ett ögonkast, subitizing. Vad/hur gör barnen i dessa situationer?
De tre barn som valts ut sätter på sig västarna med eller utan någon pedagogs hjälp, sedan går de runt i ringen och håller varandra i händerna. Detta gör de under tystnad så när som på att de fnittrar medan de andra som sitter i ringen sjunger visan. Att hattarna är på sned visas inte utan barnen fortsätter att gå runt tills visan är slut så att de snabbt kan gå och sätta sig igen. Det märks att det är en rätt så pirrig och nervös situation för barnen men det var de själva som ville gå när pedagogen som leder sångsamlingen frågade vilka barn i gruppen som ville vara pepparkaksgubbar och gå runt i ringen medan de andra sjöng. Med hjälp av ”Analysschemat i matematik för åren före skolår 6” (2000) så har jag analyserat sångerna och vad barnen gjort i situationerna. Analysschemat är uppdelat i tre delar: ”sortering, tabeller och diagram”, ”taluppfattning” och ”mätning och rumsuppfattning”. Sångerna tar upp två av dessa tre delar, taluppfattning och mätning och rumsuppfattning. En cirkushäst
Barnen visar glädje och intresse för att göra denna övning. När de får reda på vad de ska göra hörs utrop som ”Ja, cirkushästarna” och ”Nu är det dags för cirkushästarna”. Taluppfattning: barnen använder kunskaper från taluppfattningen då de ska bilda par om två och två samt grupper om tre och tre. De övar då parbildning och visar att de behärskar ett till ett principen. De sjunger det i sången och gör det med kroppen. Ett av barnen visar på problemlösning då han tar ett till barn till sig när det är dags för cirkushästarna att bli tre istället för två medan de andra bara står stilla och undrar hur de ska göra. Mätning och rumsuppfattning: barnen visar och tränar på kunskap inom mätning och rumsuppfattning då de springer runt i en cirkel på golvet, sträcker armarna upp i luften och sparkar bak med benen. Här tränas grundläggande rumsuppfattning och geometri genom sång och rörelse. Det visar även på god rumsuppfattning att barnen kan springa runt i en ring på en liten ytan utan att krocka, knuffas eller trampa varandra på hälarna. Fem fina fåglar
Barnen visar glädje och intresse för aktiviteten där all fokus riktas mot pedagogen och glada tillrop som ”titta vad jag kan” hörs. Taluppfattning: barnen tränar här kardinaltal, alltså uppfattning om antal där det sista uppräknade talet är antalet, subitizing dvs. omedelbar uppfattning av antal och räknesekvensen där de räknar de kvarvarande fåglarna. De skapar sig en grundläggande förståelse för räknesättet subtraktion då fåglarna blir färre och färre ju fler som lämnar grenen. En hatt, ett paraply och en regnrock
Barnen visar glädje och intresse för övningen, under hela tiden små ler de lite och fokuserar för Taluppfattning: barnen tränar här ett till ett principen då de ger varje takt i sången under det instrumentala stycket ett nummer från ett till 16 och de tränar även samtidigt räknesekvensen Mätning och rumsuppfattning: i sången tränas den grundläggande rumsuppfattningen då barnen hoppar i olika riktningarna fram, bak, åt sidan och ihop. Tre pepparkaksgubbar
Barnen visar glädje och intresse när de ska göra denna aktivitet. De tre som går runt inne i ringen tittar hela tiden på varandra, småler och fnissar. Övriga som sitter i ringen riktar sina Taluppfattning: här tränas subitizing då de tre barnen som går runt i ringen är just tre som de En cirkushäst
Att springa i par var en enkel uppgift för dessa barn. De tog helt enkelt bara den närmaste i handen och fortsatte springa. När det däremot var dags att springa tre och tre uppstod ett problem, hur ska vi dela upp oss? Det verkade som om problemet inte var matematiskt utan istället moraliskt. Ingen ville lämna sin kompis ensam och ingen ville bli lämnad ensam så alla höll hårt i sin parhäst och tittad efter pedagogen i hopp om att finna en lösning där, utom en som med auktoritet slet åt sig en till ”häst” och fortsatte springa runt i cirkeln. Å ena sidan kan den som slet åt sig det ena barnet ses som väldigt framfusig, som inte bryr sig om andras känslor, å andra sidan kan det ses som att barnet är en problemlösare som av erfarenhet vet att för att kunna dela upp paren för att bilda tregrupper behöver några av paren dela på sig för att det ska Att sparka bakåt med benen var inte det lättaste. Man såg att barnen kämpade för att få dem bakåt men istället så var det många som bara lyfte på knäna. Matematiken i övningarna var inga problem för barnen i gruppen då de under tidigare övningar visat att de kunde lägesorden framför, bakom, bredvid, över och under samt antal. Det som ställde till det för barnen var istället deras moral och motorik. Ingen ville ju bli lämnad utanför så alla höll hårt i sin parhäst tills pedagogen löst det dilemmat. Motoriken satte käppar i hjulet för barnen då det var dags att sparka bakut, mer för att övningen var svår än för att de saknade kunskap om vilket håll bakåt var. Alla försökte men det var bara några av dem som lyckades. En del stannade upp för att få ordning på benen medan andra sprang på och gjorde sitt bästa vilket resulterade i att de snubblade runt och tappade rytmen. Några få hade sådana svårigheter att det mer blev höga knän än sparkar bakåt. Fem fina fåglar
Då barnen här är så unga, mellan ett och två år, finns det flera orsaker till varför de inte agerar och istället bara sitter och tittar på. Finmotoriken är en av dem och sedan självklart att deras kunskapsutveckling ännu inte kommit så långt. Genom att titta, observera och göra lär de sig mer och mer för varje gång. Att få ner varje finger i sig är en konst som kräver träning. Här ser man barnen som försöker men som ger upp för att det inte går. De ser osäkra ut och tvekar för att uppgiften är för svår för dem. Däremot finns det också de som löser uppgiften med att ta hjälp av den andra handen och på så sätt gömmer sina fingrar istället för att ta ner dem, ett enkelt sätt att klara av en annars svår uppgift. När det bara är grenen kvar kommer alla i den andra gruppen, de som innan varit osäkra och låtit bli att göra rörelserna, tillbaka för detta är En hatt, ett paraply och en regnrock
Att hoppa fram och tillbaka kan ställa till problem då tempot i låten är rätt så högt. Det är många som har svårt att hinna med att hoppa bakåt efter att de hoppat fram. En anledning till att de inte hinner med att hoppa bakåt kan vara att farten och kraften de får av att hoppa fram är för stor för att de sedan på en gång ska kunna hoppa tillbaka. En annan anledning kan vara att än en gång så sätter motoriken gränserna för vad barnen kan prestera. En sak är i alla fall säker, övning ger färdighet då en större del av de äldre barnen klarar av övningen jämfört med resterande grupper. Tre pepparkaksgubbar
Barnen är nervösa medan de går runt i ringen, alla tittar på dem så de kan inte låta bli att fnittra. De barn som sitter kvar i ringen kan under hela tiden se tre ”bruna pepparkaksgubbar” gå runt framför dem och på så sätt stärka deras antalsuppfattning och förmåga att snabbt kunna se antal, så kallad subitizing (Sterner, G. & Johansson, B. 2007). I denna övning ser jag det som att det är barnen i ringen som är de som lär sig mest, de både ser, hör och sjunger själva all den matematik som sången innehåller medan barnen som går i mitten fortfarande lär sig något men mycket av deras fokus och energi läggs ner på att enbart gå runt i ringen då det är pirrigt, nervöst och spännande att få gå framför hela förskolan. Sociokulturellt perspektiv
Pedagogerna spelar här en viktig roll då de skapar tillfällen där barnen kan lära tillsammans på en nivå som är anpassad för deras utvecklingszon. När man jobbar med barn så kan det vara svårt att hitta en nivå som passar alla, här gäller det för pedagogerna att hitta den gyllene medelvägen inte för svårt och inte för lätt, barnen ska kunna ta hjälp av varandra för utvecklas vidare. De gånger som barnen inte gör något som t.ex. hos de yngsta behöver ju inte bero på att de är svaga inom det området utan det kan vara så att de helt enkelt inte kan av biologiska skäl deras muskler och nervsystem är ännu inte färdigutvecklat (Hwang, P. & Nilsson, B., 2007). Pedagogernas roll är väldigt viktig då det är de som ska skapa dessa lärsituationer som barnen med hjälp av språket ska kunna utvecklas i, de ska även se till så att alla är med, så att ingen lämnas utanför. Ta exemplet med cirkushästarna, där ett barn hade kunskap i hur man skulle göra och visa en annan grupp medan alla de andra grupperna stannade upp, pedagogen kom här och hjälpte barnen vidare i övningen samt tog hand om den som blev lämnad kvar ensam så att alla kunde vara med. Pedagogen visade här hur man skulle göra för att både lösa övningen och andra sociala sammanhang där någon lämnas ensam. I exemplet med de fem fina fåglarna så visar pedagogen hur man ska göra och barnen imiterar efter, imitationen ser Vygotskij (2007) som ett viktigt redskap för inlärning och utveckling. Alla exemplen visar på tillfällen då barnen lär tillsammans med hjälp av imitation och där pedagogen spelar en stor roll då det är just pedagogen som skapat situationerna som stämmer överens med barnens närmaste utvecklingszon och hjälper barnen vidare i deras utveckling. Generaliserbarhet, reliabilitet och validitet
Denna studie är gjord på två specifika förskolor som under åren fått en gedigen matematikfortbildning, de har länge arbetat medvetet och intensivt med matematiken. Detta för med sig att om undersökningen skulle ha gjorts på några andra förskolor så skulle resultatet förmodligen bli annorlunda då det är personalen på förskolorna som styr innehållet i Allt material till studien har samlats in på samma sätt, där alla som varit inblandade i studien fått samma information. Den information som samlats in stämmer överens med studiens syfte, hur rörelse och musik har använts för att stärka barnens matematikutveckling på förskolan. Innan jag gjorde min studie på förskolorna hade jag förställt mig att sångerna som de sjöng på förskolan var valda utifrån att de var söta och gulliga eller för att man alltid under alla tider har sjungit dem. Denna uppfattning fick jag snabbt ta tillbaka då jag insåg att bakom varje sång fanns en tanke och mening. Visst var det så att det fanns sånger som var söta och gulliga men det fanns även de som valda helt efter deras innehåll. Matematiken som finns i sångerna på förskolan kan enkelt förstärkas med rörelser och bidra till ökad förståelse för matematiken. Genom att leka musiska rörelselekar som innefattar matematik stärks deras motorik, koordinationsförmåga och kroppsuppfattning samtidigt som de utvecklar sin förmåga att använda matematiken i ett meningsfullt sammanhang. Leken är den arena som barnen lär sig mest på och det är där de hör hemma. I de sånger som jag observerat på förskolorna hittade jag väldigt mycket matematik och kunde fylla i stora delar av analysschemat, den enda delen i analysschemat som jag inte kunde fylla i var den om sortering, tabeller och diagram. Däremot kan man använda musiken och sångerna till att även träna denna Genom att tillsammans med barnen analysera sångerna och dela upp dem i intro, vers, refräng, mellanspel och outtro kan man sortera och klassificera dem och utifrån det göra tabeller och diagram. Musiken är ett verktyg som kan användas för att skapa glädje och lust till lärande, se bara på textraden av Björn Barlach och Lill Lindfors, ”Musik ska byggas utav glädje, av glädje bygger man musik”. Detta var något som jag tydligt såg på förskolorna jag var på. När barnen hade sång och musik var de glada och visade stort intresse för vad pedagogen gjorde och vad de Hur mycket matematiken stärks jämfört med andra metoder är svårt att säga, däremot så stämmer detta helt klart med läroplanen då barnen i för dem meningsfulla sammanhang med hela kroppen och alla sinnen lär matematik. Något som vore roligt att se är hur mycket barnen lär sig av detta och om det går att överföra och användas i skolan samt hur mycket de barnen då lär sig jämfört med vanlig traditionell matematikundervisning. Bjørndal, Cato R. P (2002). Det värderande ögat, observation, utvärdering och utveckling i undervisning och handledning. Stockholm: Liber Ericsson, Ingegerd. (2005) Mer medveten motorisk träning behövs [www]. Hämtat från http://bunkeflomodellen.com. Hämtat 2 januari 2010. Forsbäck, Margareta (2007). Sortering och klassificering. I Elisabet Doverborg & Göran Emanuelsson (red.) Små barns matematik. Göteborg: Göteborgs universitet, nationellt centrum Gärdsell, Per, Karlsson, Magnus & Lindén, Christian (2005). Kan skolgymnastik minska antalet benskörhetsfrakturer? Medicinsk access, 4, 2-5. Hannaford, Carla (1997). Lär med hela kroppen – inlärning sker inte bara i huvudet. Jönköping: Horowitz, Norman H. (1997) Roger Wolcott Sperry [www]. Hämtat från http://nobelprize.org. Publicerat 23 juli 1997. Hämtat 4 januari 2010. Hwang, Philip & Nilsson, Björn. (2007) Utvecklingspsykologi (2 uppl.). Stockholm: Natur & Jederlund, Ulf (2002). Musik och språk – ett vidgat perspektiv på barns språkutveckling. Johansson, Bo & Svedner, Per Olov (2006). Examensarbetet i lärarutbildningen – undersökningsmetoder och språklig utformning. Uppsala: Kunskapsföretaget Persson, Annika (2007). Rumsuppfattning och bygglek. I Elisabet Doverborg & Göran Emanuelsson (red.) Små barns matematik. Göteborg: Göteborgs universitet, nationellt centrum Sheridan, Sonja (2009). Förskoledidaktik i ett kvalitetsperspektiv. Förskoletidningen, 6, 6-11. Shilling, Wynne A. (2002). Mathematics, Music, and Movement: Exploring Concepts and Connections. Early Childhood Education Journal, Vol. 29, No. 3, 179-184. Skolverket (1998). Läroplanen för förskolan. Stockholm: Skolverket/Fritzes Skolverket (2000). Analysschema i matematik för åren före skolår 6. Stockholm: Skolverket Skolverket (2009). Förslag till förtydliganden i läroplanen för förskolan. Stockholm: Skolverket Sterner, Görel & Johansson, Bengt (2007). Räkneord, uppräkning och taluppfattning. I Elisabet Doverborg & Göran Emanuelsson (red.) Små barns matematik. Göteborg: Göteborgs universitet, nationellt centrum för Matematikutbildning, NCM. Säljö, Roger (2005). L. S. Vygotskij – forskare, pedagog och visionär. I Anna Forssell (red.) Boken om pedagogerna. Stockholm: Liber Uddén, Berit (2004). Tanke – Visa – Språk – musik pedagogik med barn. Lund: Studentlitteratur Vygotskij, Lev, S. (2007). Tänkande och språk. Göteborg: Daidalos Föräldrabrev
Till föräldrar med barn på xxxx- och xxxxförskola

Jag heter Andreas Fjällman och studerar till förskollärare på Stockholms Universitet. Just nu skriver jag min c-uppsats vars syfte är att se på musik och rörelse som verktyg för Jag vill nu fråga er föräldrar också om jag får göra en liten undersökning i era barns grupper. I min undersökning så kommer jag att observera några aktivitets tillfällen. Fokusen i mina observationer kommer att vara lärande situationen mellan barnen samt personalen, alltså så det enskilda barnet inte observeras. För mitt minnes skull så kommer jag att föra anteckningar samt
Jag kommer inte att sätta ut barnens namn, lärarnas namn eller förskolans namn i min rapport. Ingen kommer att kunna lista ut vilken förskola eller vilka barn som varit med i De enda som kommer att få tillgång till materialet är jag själv och i viss mån personalen på Meddela så snart som möjligt till respektive förkola om ni godkänner denna
undersökning.
Behöver ni fråga något, så kan ni alltid maila på; xxxxxxxxx Sångtexterna
En cirkushäst
Text och musik Kerstin Andeby och Peter Wanngren Då är det bäst att den har ordning på benen Runt, runt i trav, runt, runt i trav, en gång till Då är det bäst att den har ordning på benen Då är det bäst att den har ordning på benen Två och två i par, två och två i par Två och två i par, två och två i par, en gång till Två och två i par, två och två i par Två och två i par, ända till man säger att man ska gå Då är det bäst att den har ordning på benen Den ska stegra sig, den ska stegra sig, en gång till Den ska stegra sig, när det är helt ok Då är det bäst att den har ordning på benen Den ska sparka bakut, den ska sparka bakut Sparka bakut, sparka bakut, en gång till Fem fina fåglar
Text och musik Jujja och Tomas Wieslander En hatt, ett paraply och en regnrock
Ett, två, tre, fyra, fem, sex, sju, åtta Nio, tio, elva, tolv, tretton, fjorton, femton, sexton Tre pepparkaksgubbar
Text Astrid Forsell-Gullstrand musik Alice Tegnér Och vägen vi vandrat tillsammans hand i hand. korinter till ögon och hattarna på sne'. Tre gubbar, tre gubbar från Pepparkakeland, Till julen, till julen vi komma hand i hand. Men tomten och bocken vi lämnat vid vår spis, de ville inte resa från vår pepparkakegris. Stockholms universitet 106 91 Stockholm Telefon: 08–16 20 00 www.su.se

Source: http://jarfalla.episerverhotell.net/upload/Skola/VFU/Lite%20s%C3%A5ng%20lite%20dans%20lite%20matte.pdf